[인공지능/머신러닝 기초] 선형대수 기초

엘리스에서 제공한 강의와 자료를 보고 정리한 내용입니다.

 

✅ Vector

스칼라(scalar)는 크기만 존재하는 양으로 길이, 넓이, 질량, 온도 등이 스칼라 값에 속한다.

쉽게 말해 그냥 숫자를 생각하면 된다.

벡터(vector)는 크기와 방향이 모두 존재하는 양으로 속도, 위치 이동, 힘 등이 있다.

 

✔️ 벡터 연산

벡터는 아래와 같이 표기한다.

 

 

벡터끼리 더하는 것은 피연산자가 같은 차원의 벡터일 때 가능하며 같은 차원끼리 더하면 된다.

 

 

벡터에 스칼라값을 곱할 수도 있는데 이 때에는 각 값에 동일한 스칼라 값을 곱하면 된다.

 

 

✔️ Norm

 n차원 벡터  \(\overrightarrow{x}=(x_{1},x_{2}, ..., x_{n})\) 에 대해 Norm은 다음의 값을 가진다.

$$ ||\overrightarrow{x}||=\sqrt{x_{1}^{2},x_{2}^{2}, ..., x_{n}^{2}} $$

 

쉽게 말해 원점에서 해당하는 점 \((x_{1},x_{2}, ..., x_{n})\) 까지의 거리이다.

이때 \(||\overrightarrow{x}||\) 의 값이 1과 같으면 반지름의 크기가 1인 원 형태가 되며 1보다 작으면 원 안에 속한다.

 

 

✔️ 내적

내적은 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념이다.

벡터에는 방향이 존재하므로 방향이 일치하는 만큼만 곱한다.

내적의 기호는 · 을 사용하며 같은 차원끼리 곱하여 주면 된다.

 

\(\overrightarrow{x}=(x_{1},x_{2}, ..., x_{n})\),  \(\overrightarrow{y}=(y_{1},y_{2}, ..., y_{n})\)일 때, 이 두 벡터의 내적은 다음과 같다.

$$x\cdot y = (x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ... + x_{n}y_{n})$$

 

 

✅ Matrix

행렬(matrix)는 실수를 다음과 같이 직사각형 모양으로 배열한 것을 말한다.

 

 

✔️ 행렬 연산 - 합차

행렬의 연산은 같은 차원을 가진 행렬끼리만 더하거나 뺄 수 있다.

 

\(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}\),  \(B = \begin{bmatrix}4 & 3 \\2 & 1 \end{bmatrix}\) 의 두 행렬이 있을 때 이 두 행렬의 합은 다음과 같다.

 

$$A + B = \begin{bmatrix}1+4 & 2+3 \\3+2 & 4+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & 5 \\5 & 5 \end{bmatrix}$$

 

✔️ 행렬 연산 - 곱

행렬을 곱할 때는 주의해야 할 점이 있다.

A가 (a, b), B가 (c, d)의 차원을 가진다고 할 때 b와 c의 차원이 동일해야 두 행렬의 곱 연산이 가능하며 곱한 결과는 a와 d의 차원에 따라 결정된다.

 

\(A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\ e & f \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}g & h & i \\j & k & l \end{bmatrix}\)의 두 행렬이 있을 때 이 두 행렬의 곱은 다음과 같다.

 

$$AB=\begin{bmatrix}ag+bj & ah+bk & ai+bl \\ cg+dj & ch+dk & ci+dl \\ eg+fj & eh+fk & ei + fl \end{bmatrix}$$

 

✔️ 전치행렬

전치행렬(Transpose)은 원본 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 행렬이다.

\(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 4 & 3 & 0 \end{bmatrix}\)  일 때, A의 전치행렬 \(A^{T}\)는 아래와 같다.

 

$$A^{T}=\begin{bmatrix}1 & 4 \\2 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$